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周毓荣:提问题

发布时间:2021-03-08  点击:


在数学学习中,我一向倡导要学会质疑。

我认为,要培养学生的创新意识和创新能力,必须培养学生发现问题、提出问题的能力。应当提倡独立思考,提倡怀疑,鼓励学生提问题,鼓励学生向老师质疑,向书本质疑,向现实存在的事物质疑,从小培养学生怀疑事物的意识和能力。因为没有对事物的怀疑,就没有对现有事物存在的问题、弊端的探讨和发现,就不可能有新的思路、措施、方法的产生。

要学会学习,必须学会发现问题、提出问题,否则就难以深入了解所学的内容及其本质,更谈不上有所发现。有没有质疑意识、会不会提问题、提什么样的问题,是会不会学习、学习深入与否的重要标志。因此可以说,“学问”的第一要义就是要学会问,学会质疑。

要培养学生的质疑意识和提问题的能力,培养学生的创新意识和创新能力,教师不能只会照本宣科,只教给学生结论,必须教给学生获得结论、获取知识的方法,教会学生学习、思考、想问题,为此,必须提高我们自身的科研能力、提问题的能力,在教学的各个环节中多方启发、引导学生提问题。经验表明,给学生出思考题是其中的一个有效手段。

在研究生面试中,我琢磨出一套题,用于考察判断学生有没有潜力,有没有培养前途。这套题总共有五个大题,每个大题又有五六个小题,这五六个小题都是环环相扣、紧密联系的,内容从中学的角度,角的度,弧度,到高等数学的极限,连续、导数、积分,全都是专科生就学过的,但学生肯定答不出来。我通过逐步启发,让考生最后找到答案,来观察、判断他有多少潜力,有无培养前途,以确定是否录取。比如,其中一个大题是由下面这些小题组成的:

(1)微积分学中,角的度量用什么制?为什么?

这是很多人答不出来的,可以放放,先回答:

(2)x趋于0时,lim(sinx/x)=1,其中分子和分母中的x有何异同?

(3)在这个公式中,角的度量用什么制?以度为单位,这公式还成立吗?试推导、证明之。

(4)以度为单位,sinx的导数是什么?证明之。

(5)以度为单位,sinx的k阶导数是什么?

(6)以度为单位,sinx的积分是什么?

(7)以度为单位,sinx的Taylor展式是什么样?

(8)以度为单位,其他三角函数的导数、积分会发生什么变化?

学过高等数学的人,很多不知道微积分学中角的度量是弧度的,知道的人也未必知道为什么,更不知道这与上面那个极限有关;即使知道这点,也不知道角的度量改为度时,那个公式是否还成立。为此,我问过一些数学教师,他们推来推去都认为还成立。但这是错误的。要找到正确答案必须用证明那个公式的方法。这再次证明,掌握证明公式的方法,往往比记住公式更重要。这是学数学的人必须知道的。

如果角的度量不用弧度而用度,那么上述公式便不成立,而求sinx的导数要用到这个公式(很多人学完就忘了)。因此它的导数就不是cosx了,它的积分(原函数)不是-cosx了,其他三角函数的导数、积分、Taylor展式都会很复杂。这就是微积分必须用弧度的原因。

我们用这套题招考过专科毕业的郑少辉、高自友和王成文。郑少辉是我系招收的第一位硕士生,他是华东师大转来的,系里领导心里没底,派我到广东陆丰亲自去面试。从晚上七点半考到十点半,足足三小时。第二天,我给系里发了个电报:“成绩优秀,可以录取。”录取后,送中科院读硕士,硕士毕业后返校工作一段时间,去哥伦比亚大学读博士,博士毕业后去香港科技大学任教。高自友在中科院博士毕业后在北方交通大学任教。王成文在中科院博士毕业后去美国一大学任教。都干得很好。这说明,通过这套考题,用口试的方法,去考察、判断考生有无后劲、有无潜力、有无培养前途是可行的。当然,还要有系领导敢于决断,敢于录取。

通过这样的考试,可以让学生在“提问题”上有所收获。我在教《数学分析》和《高等代数》课时,都编印过数十个的思考题,供学有余力的学生使用。这些题同上面的考研题一样,都是自己在教学的备课时反复思考得来的。此外,课后,我除了布置作业,不时也留一些思考题给学生。我在给数学九四级上《高等代数》时,蒋树强就根据我给出的一些思考题写了一篇论文,经反复修改后发表在我校的学报上。《高等代数》是古老而又成熟的学科。他能在其中写出有创意的论文,而且还是在大一时,是值得肯定的。他因成绩优异,提前于三年级毕业留校。后来在中科院博士毕业,留院工作。现被我校聘为兼职教授。

数学是不停地提出问题,不停地创新,不停地发展的。数学的思维方法独特、有效而且丰富,富有启发思维的作用。简单通俗地说,从中可以学到怎样动脑筋、怎样想问题。教会学生动脑筋、想问题,使之成为性格,从而培养学生的创新意识和创新能力,是数学教师的优势更是责任,是小学、中学、大学的数学教师都可以做到而且应该做到的。著名数学家弗赖登塔尔提出:“数学教学的核心是学生的‘再创造’。”再创造就是不断创新,这正是数学的重要特征。

(注:周毓荣,我校微分方程领域研究开创者,山东省第八届政协常委。)(讲述:周毓荣 整理:秦晓钟)